www.fmath.info

1840 Bernhard kantakse otse kolmanda klassi juures lütseumis, Hannover. Samal ajal Lütseumis ta elas oma vanaema, aga aastal 1842, tema vanaema surnud ja Bernhard kolis Johanneum Gümnaasiumi Lüneburg. Bernhard tundub, et on hea, kuid lahendamata on õpilane, kes töötas kõvasti klassikalise teemasid nagu heebrea ja teoloogia. Ta näitas erilist huvi matemaatika ja direktor Gümnaasium lubatud Bernhard õppida matemaatika tekste oma raamatukogu. Üks kord ta laenas Bernhard Legendre 's raamatu teooria numbrid ja Bernhard lugeda 900 leheküljelise raamatu kuue päevaga.

Kevadel 1846 Riemann registeeritud Göttingeni ülikooli õigusteaduse. Tema isa oli julgustas teda uurima teoloogiat ja nii ta asus teoloogia teaduskonna. Kuid ta õppis mõned matemaatika loenguid ja palus oma isa, kui ta oleks üle filosoofiateaduskonna et ta saaks uurida matemaatika. Riemann oli alati väga lähedal tema pere ja ta oleks kunagi muutunud kursuste ilma isa loata. See anti siiski ja Riemann Seejärel võttis kursusi matemaatika Moritz Stern ja Gauss.

See võib olla arvasid, et Riemann oli just õige koht õppimiseks matemaatika Göttingen, kuid praegu Göttingeni ülikooli õigusteaduse oli üsna kehv koht matemaatikas. Gauss ei loengu Riemann, kuid ta ainult annab elementaarsed kursused ja puuduvad tõendid, et sel ajal tunnistas ta, Riemann on geenius. Stern, aga kindlasti ei mõista, et ta oli tähelepanuväärne õpilaste ja hiljem kirjeldatud Riemann sel ajal, öeldes, et ta:

... juba laulis nagu kanaarilind.

Riemann liikunud Göttingen Berliini Ülikoolis kevadel 1847, et uuringu kohaselt Steiner, Jacobi Dirichlet ja Eisenstein. See oli oluline aeg, Riemann. Ta on õppinud palju alates Eisenstein ja arutasid kasutades keerulisi muutujaid elliptiline funktsiooni teooria. Peamised isik mõjutada Riemann Sel ajal oli aga Dirichlet. Klein kirjutab:

Riemann pidi Dirichlet tugev sisemine kaastunnet samasuguse ¾ mõtte. Dirichlet armastas teha asjad selgeks, et ise intuitiivselt substraat; koos käesoleva ta annaks äge, loogiline analüüs foundational küsimusi ning aitaks vältida pika arvutused nii palju kui võimalik. Tema viisil paremini Riemann, kes võttis selle vastu ja töötas vastavalt Dirichlet 's meetodeid.

Riemann töö alati põhines arusaadavad põhjendused, mis langes veidi alla rangusega kohustatud tegema järeldused veekindel. Kuid hiilgav ideid, mis oma teosed sisaldavad, on nii palju selgem, sest tema töö ei ole liiga täis pikad arvutused. See oli ajal oma aega ülikoolis Berliinis Riemann välja töötanud oma üldteooria keeruline muutujaid, mis olid aluseks mõned tema kõige tähtsam töö.

Aastal 1849 naasis ta Göttingeni ja tema Ph.D. Lõputöö, juhendaja Gauss, esitati 1851. Kuid see ei olnud ainult Gauss, kes tugevalt mõjutanud Riemann sel ajal. Weber oli tagastatud juhataja füüsika Göttingen alates Leipzig ajaks, Riemann oli Berliin, ja Riemann oli tema assistent on 18 kuud. Samuti videod olid määratud professor füüsika Göttingen 1849. Läbi Weber ja videod, Riemann saadud tugev taust, teoreetiline füüsika ja alates videod olulisi ideid topoloogia mis mõjutavad tema maa purustamist teadus.

Riemann teesi uuritud teooriat keeruline muutujad ja eelkõige, mida me praegu kõne Riemann pinnad. Seetõttu kehtestati topoloogiline meetodid keerukateks funktsiooni teooria. Töö tugineb Cauchy 's aluste teooria keeruline muutujad üles ehitatud paljude aastate jooksul ja ka Puiseux' s ideid filiaal võrra. Kuid Riemann's Thesis on silmatorkavalt originaal töö, milles uuriti geomeetriliste omaduste analüütiliste funktsioonide konformne kaardistamisel ja Side pindade.

Tõendada teatud tulemustele oma väitekirja Riemann kasutada variational põhimõte, mida ta hiljem helistada Dirichlet põhimõttega, sest ta oli õppinud seda Dirichlet 'i loengud Berliinis. Dirichlet põhimõte ei pärine Dirichlet aga, nagu Gauss, roheline ja Thomson kõik oli kasutanud kui see. Riemann teesi, üks tähelepanuväärne tükid algupärase ilmumata doktoritöö, uuriti 16. detsember 1851. Oma aruande Thesis Gauss kirjeldatud Riemann, kellel on:

... hiilgavalt viljakas originaalsust.

Sisse Gauss 'i soovituse Riemann nimetati ametikohale Göttingenis ning töötas ta oma Suutlikkuse, määral, mis võimaldaks tal saada lektor. Ta veetis pool aastat tööd oma Suutlikkuse väitekirja, mis oli representability funktsioonide kaupa trigonomeetriliste seeria. Ta andis tingimuste funktsioon on oluline, mida me nüüd nimetame seisukorras Riemann liituvus. Teise osa Väitöskirjassaan ta uuris probleem, mida ta on kirjeldatud järgmiste sõnadega:

Kuigi eelmise paberid on näidanud, et kui funktsioon omab sellist ja sellist vara, siis võib esindaja Fourier 'rida, me kujutada vastupidine küsimus: kui funktsiooni saab esindajad trigonomeetriliste seeria, mida saab üks öelda oma käitumist .

Et lõpetada oma Suutlikkuse Riemann tuli loengu. Ta on valmis kolm loengud, kaks elektri ja üks kuju. Gauss tuli valida üks kolm Riemann andma ja vastu Riemann ootustele, Gauss valis loengu geomeetria. Riemann's loengu Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen (On hüpoteesid, mis asuvad aadressil sihtasutuste geomeetria), esitas 10. juunil 1854, sai klassikalise matemaatika.

Toimus kaks osad Riemann's loengu. Esimeses osas ta tulenev probleem, kuidas määratleda n-mõõtmelise ruumi ning lõpetas, määratledes, mida me tänapäeval kõne Riemannin ruumi. Freudenthal kirjutab:

Tal on lühim read, nüüdsest geodesics, mis meenutavad tavalist sirget joont. Tegelikult esimese ühtlustamine geodeetilist koordinaatide süsteem selline mõõdik on lame eukleidiline, samal viisil, et kumera pinnaga kuni suurema et tingimustel näeb oma tangenstasandiga. Olendid elavad pinnal võib juhtuda kumerust oma maailma ja arvutada see üheski punktis tagajärjel täheldatud kõrvalekaldeid Pythagoras 'teoreem.

Tegelikult on peamine küsimus selle osa Riemann's loeng oli mõiste kõveruse tensor. Teine osa Riemann's loengu põhjustatud sügav küsimusi suhe geomeetria, et maailm, kus me elame Ta küsis, mida mõõde reaalse ruumi oli ja mida geomeetria kirjeldatud tegelikku ruumi. Loeng oli juba liiga kaugele ette oma aega hindab enamik teadlasi sellest ajast. Monastyrsky kirjutab:

Hulgas Riemann's publikut, vaid Gauss suutis hindame sügavus Riemann mõtteid. ... Loeng ületanud kõik tema ootused ja väga üllatunud teda. Pala teaduskonna koosolekul rääkis enim kiitust ja haruldaste entusiasmi üles Wilhelm Weber umbes sügavus mõtted, mis Riemann on esitanud.

See ei olnud täielikult aru alles kuuskümmend aastat hiljem. Freudenthal kirjutab:

Üldiselt Relatiivsusteooria suurepäraselt õigustada oma tööd. Aasta matemaatilise aparatuuri arenenud Riemann aadress, Einstein leiti raami sobivad tema füüsilisele ideid, tema kosmoloogia ja kosmogoonia: ja vaimu Riemann aadress oli just see, mida füüsika vaja: meetriline struktuur määratakse kindlaks andmed.

Nii et see suurepärane töö pealkirjaga Riemann hakkab loeng. Siiski:

Pole ammu enne septembris luges ta aruande "seadustest Distribution staatilise elektri" istungile Göttingen Society uurijad ja arstid. Aasta kirjas oma isale Riemann meenutada, muu hulgas, "et ma kõneles teaduslikud kohtumine oli kasulik, minu loengud". Aasta oktoobris tema määratud töö tema loenguid osaline diferentsiaal. Riemann kirju oma kallilt armastatud isa olid täis mälestused muret raskuste ta esinenud. Kuigi vaid kaheksa üliõpilast osalesid loengud, Riemann oli täiesti rahul. Tasapisi ta ületas oma füüsilise pelgus ja kehtestatud rapport oma publikule.

Gauss 's õppetooli Göttingen oli täidetud Dirichlet 1855. Sel ajal oli katse saada Riemann isikliku juhatusel, kuid see ebaõnnestus. Kaks aastat hiljem aga nimetati ta professor ja samal aastal, 1857, teise oma meistriteoseid avaldati. Paber teooria Abeli ülesandeid oli tulemus tööd mitu aastat ja sisaldub loengu käigus ta andis kolm inimest 1855-56. Üks kolmest oli Dedekind kes suutis teha ilu Riemann's loengud kättesaadavaks, avaldades materjali pärast Riemann varase surma.

Abeli ülesandeid paberi jätkus, kui tema doktoritöö lahkus välja ja arendas ideed Riemann pindade ja nende topoloogilised omadused. Ta uuris multi-väärtuseks funktsioone ühe hinnatakse üle erilist Riemann pinna-ja lahendada üldise inversiooni probleemid, mis olid lahendatakse elliptiline integraalid poolt Abel ja Jacobi. Kuid Riemann ei olnud ainult matemaatik töötavad sellised ideed. Klein kirjutab:

... kui Weierstrass esitas esmakordselt ravi üldist Abeli funktsioone Berliini Akadeemia 1857, Riemann paberi samal teemal ilmunud Crelle 's Journal, Volume 54. See sisaldas nii palju ootamatuid uusi kontseptsioone, mis Weierstrass võttis oma paberi ja tegelikult avaldatud enam.

Dirichlet põhimõte, mis Riemann oli kasutanud oma doktoritöö kasutas ta uuesti tulemusi 1857 paberit. Weierstrass selgus siiski, et seal oli probleem Dirichlet põhimõte. Klein kirjutab:

Enamik matemaatikud loobunud Riemann ... Riemann oli üsna erinev arvamus. Ta täielikult tunnustatud õigluse ja õigsuse Weierstrass 'i kriitikat, kuid ta ütles, nagu Weierstrass ütles mulle kord, et ta pöördus Dirichlet' s põhimõte ainult mugav tööriist, mis oli õige käega, ja et tema olemasolu teoreemid on endiselt õige .

Me lõppemisel tagastama käesoleva artikli näidata, kuidas probleem kasutamise Dirichlet 's põhimõtteliselt Riemann töö oli lahendatud.

1858 Betti, Casorati ja Brioschi külastas Göttingeni ja Riemann arutada neid oma ideid topoloogiast. See andis Riemann eriti meeldiv ja ehk Betti eelkõige kasu saanud tema kontakte Riemann. Need kontaktid on uuendatud, kui Riemann külastanud Betti Itaalias 1863. Kahes kirjas Betti, näidates topoloogiline ideid, mida ta õppinud Riemann, ei korrata.

1859 Dirichlet surnud ja Riemann nimetati juhataja matemaatika Göttingen 30. juulil. Paar päeva hiljem ta valiti Berliini Teaduste Akadeemia. Ta oli teinud ettepaneku kolme Berliini matemaatikud, Kummer, Borchardt ja Weierstrass. Oma ettepanekut järgmiselt:

Enne ilmumist oma viimase töö [teooria Abeli funktsioone] Riemann oli peaaegu tundmatu matemaatikud. See asjaolu vabandusi veidi vaja üksikasjalikumat kontrolli oma teoste alusena meie esitlus. Meil pidas meie ülesanne on omakorda tähelepanu Akadeemia kolleegid, keda me soovitada mitte noori talente, mis annab suurt lootust, vaid pigem täiesti küpsed ja sõltumatu uurija meie teaduse, kelle edu ta olulise meetme edendada.

Vastvalitud liikme Berliini Teaduste Akadeemia, pidid esitama aruande oma viimase uurimis-ja Riemann saadetud aruande arvu PRIMES alla antud suurusjärku teine tema suur meister, mis oli suuna muutmiseks matemaatiliste uuringute Kõige olulisem viisil. Seal Riemann uuris Zeta funktsioon

(S) = (1 / ⁿ S) = (1 - p ^{- s) -1}

mis on juba pidanud Euler. Siin summa on üle kõikide naturaalarvude n, samas kui toode on üle kogu peaministri numbrid. Riemann peetakse väga erinev küsimus ühe Euler vaatas, ta vaatas Zeta funktsiooni keerukat funktsiooni, mitte reaalne. Välja arvatud mõned tühised erandid, juured (id) kõik jääma 0 ja 1 vahel. Paberis märkis ta, et Zeta funktsioon oli lõpmata palju nontrivial juured ja see tundus tõenäoline, et nad kõik on reaalne osa 1 / 2. See on kuulus Riemannin hüpotees, mis on tänapäeval üks kõige olulisem lahendamata probleeme matemaatika.

Riemann õppis lähenemine seeria esindatuse Zeta funktsioon ja leida funktsionaalne võrrand Zeta funktsiooni. Peamine eesmärk paber oli anda hinnanguid arv PRIMES alla antud number. Paljud tulemusi Riemann saada hiljem tõestada Hadamard ja de la Vallée Poussin.

Aasta juuni 1862 Riemann abielus Elise Koch, kes oli sõbra õde. Neil oli üks tütar. Aasta sügisel aastal oma abielu Riemann püütud raske külma mis viis tuberkuloos. Ta ei olnud kunagi hea tervis kogu oma elu ja tegelikult tema tõsise Heath probleeme ilmselt tagasi minna palju kaugemale kui see külm ta kinni. Tegelikult tema ema suri, kui Riemann oli 20 kui vend ja kolm õde kõik surid noorelt. Riemann püüdnud võidelda haiguse minnes soojem kliima Itaalia.

Talv 1862-63 kulutati Sitsiilia ja ta siis sõitis läbi Itaalia, ajaveetmine Betti ja teiste Itaalia matemaatikud, kes oli käinud Göttingen. Ta naasis Göttingen aasta juuni 1863, kuid tema tervis kiiresti halvenes ja jälle pöördus ta tagasi Itaaliasse. Võttes kulutatud august 1864 kuni oktoober 1865 Põhja-Itaalias, Riemann tagasi Göttingeni jaoks talvel 1865-66, siis tagastatakse Selasca kaldal Maggiore järve kohta 16. juuni 1866. Dedekind kirjutab:

Tema tugevus vähenes kiiresti ja ta ise arvas, et tema lõpp oli lähedal. Aga ikkagi, päev enne tema surma, puhke all viigipuu, tema hinge täis rõõmu on kuulsusrikas maastik, töötas ta oma lõpliku töö, mis kahjuks jäi lõpetamata.

Lõpuks Revenons Weierstrass 'i kriitikat Riemann kasutab Dirichlet' s põhimõte. Weierstrass olid näidanud, et minimeerida funktsiooni ei ole tagatud Dirichlet põhimõte. See oli muudab inimesed kahtlust Riemann's meetodeid. Freudenthal kirjutab:

Kõik kasutatud Riemann materiaalset, kuid tema meetod oli täiesti tähelepanuta. ... Jooksul ülejäänud sajandi Riemann tulemusi avaldanud tohutut mõju: tema mõtteviis, kuid vähe.

Weierstrass kindlalt uskusid Riemann tulemustest hoolimata oma avastamist probleem Dirichlet põhimõte. Ta küsis õpilane Hermann Schwarz püüda leida muud tõendid Riemann olemasolu teoreemid, kes ei kasutanud Dirichlet põhimõte. Tal õnnestus seda teha ajal 1869-70. Klein, aga oli lummatud Riemann's geomeetriline lähenemine ja ta kirjutas raamatu 1892, milles tema versiooni Riemann töö veel kirjutatud väga vaimus Riemann. Freudenthal kirjutab:

See on ilus raamat, ja oleks huvitav teada, kuidas see saadi. Ilmselt paljud võttis õigusrikkumise puudumise rangusega: Klein oli liiga palju Riemann mainet tuleb veenda inimesi, kes ei usu viimane.

Aastal 1901 Hilbert parandatud Riemann lähenemisviisi, andes õiget vormi Dirichlet 's põhimõte vaja teha Riemann's tõendid range. Otsi ranged tõendid ei olnud aja raiskamine, aga kuna paljud olulised algebraline ideid avastas Clebsch, Gordan, sile ja Max Noether kuigi nad püüdsid tõestada Riemann tulemusi. Monastyrsky kirjutab:

On raske meelde üks näide ajaloost XIX sajandi matemaatika kui võitlus range tõendit viinud sellise tootmisega tulemusi.

Source:School of Mathematics and Statistics University of St Andrews, Scotland